基于全相位频谱分析的正弦波频率估计 邓振淼 刘渝 《数据采集与处理》2008年第23卷第4期

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从下面4cfft插值公式证明中,邓振淼博士的证明方法被充分使用了, apfft中有一个移位相加措施, 邓法的要点是用了DFT中的循环移位定理, 4cfft插值公式证明看上去很繁杂,思路即很清晰简单, 4cfft中有大量的序列移位, 只要将全部的序列及其移位找出加起耒就可以了.

以N=3矩形窗为例
1cfft用了1个长N序列, 见图1
2cfft用了3个长N序列, 这些序列在数据序列中的采样时间以及移位后的排列见图1, 它是1cfft中昀1个长N序列和[1 1 1]的线性卷积, 2cfft的数据组有一个特点, 它都包含了X(0), 而且将所有长N截断中包含X(0)的序列都慨恬了, 所以称为全相位数据组.

图中左侧的i值是apfft证明公式中的f(n-i)及移位位数i

                                          图1                   1cfft, 2cfft的采样时间以及移位后的排列

3cfft用了9个长N序列, 这些序列在数据序列中的采样时间以及移位后的排列见图2, 它是2cfft中昀全相位数据组和[1 1 1]的线性卷积, 3cfft的数据组中有的长N序列中不包含X(0), 但这个序列和包含X(0)序列在一个全相位数据组中.

囱2中3cfft上图的9行之和即为3阶线张卷积窗后的信号[ X-3 3X-2 6X-1 7X0 6X1 3X2 X3], 图2中3cfft下图(移位后的排列见)的9行之和即为3阶循环张卷积窗后的信号[7X0+X3+X-3 6X1+3X-2 3X2+6X-1]

                                        图2             3cfft的采样时间以及移位后的排列

4cfft用了27个长3序列, 4cfft的采样时间见图3,它是3cfft中昀数据组和[1 1 1]的线性卷积, 4cfft有9个3x3全相位数据组, 这9全相位数据组都包含X0, 而且将包含X0的3x3全相位数据组都包含了,X0遍历3x3全相位数据组27个位置中的每一个位置.

图3中4cfft的27行之和即为4阶循环张卷积窗后的信号[X-4 4X-3 10X-2 16X-1 19X0 16X1 10X2 3X3 X4],

                       图3                    4cfft的采样时间

4cfft移位后的排列见图4,图4中4cfft的27行之和即为4阶循环张卷积窗后的信号[19X0+4X3+4X- 16X1+10X-2+X4

                         图4                           4cfft移位后的排列

           4dfft 插值公式证明如下:

N=3矩形窗4cfft用了27个长N序列,3个一组,分9组, 4cfft输出是这9组序列移位后fft之

4cfft共NxNxN个长N序列

笫1个NxN个长N序列为(图中左侧的i值是apfft证明公式中的f(n-i)及移位位数i)

笫2个NxN个长N序列为

......

笫N个NxN个长N序列为

笫1个NxN个长N序列移位后的数据排列为

笫2个NxN个长N序列移位后的数据排列为

......

笫N个NxN个长N序列移位后的数据排列为

       N阶矩形窗4cfft用了NxNxN个长N序列,N个一组,分NxN组, 4cfft输出是这NxN组序列移位后fft之和 

4cfft插值公式证明1,见

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