apfft是考虑到全部起始点不同的截断的FFT。这种全面考虑的思路可以到其他研究实例。

如全相位FIR濾波器，全相位內插，全相位OFDM。

也可應用於平面几何的 pascal 定理中。

园周上六点的三对连线交点成一线的pascal 定理，对不同的三对連线交点有许多根pascal 线，這些pascal线有何关系。

园周上六点的三对連线交点有二种，一种交点在园内，一种交点在圆外，交点在园内的pascal线有三条，这三条pasca线共點。

見图1,  图周上6點A，B，C，D，E，F。

图1a,   FD和EC交G，AD和EB交H，FB和AC交 I，三點G-H-I 共紅 pascal 线，   

图1b， AC和BD交J，CF和EB交N，AE和DF交 M，三点J-N-M共录 pascal 线，

图1c， AE和BF交P，AD和FC交Q，BD和CE交 R，三點P-Q-R共兰 pascal 线，

見图1，紅录兰三线 pascal 共點S。

图1=图1a+图1b+图1c。

問題一：园周上六点產生的三条园內 pascal 線共點。

問題一可以引出問題二。

問題二：园周上六點交叉連线形成的六角形，其三条对角线共點。

园周上六點ABCDEF交叉連线形成的六角形RGMPQJ，其三条对角线RP,GQ,JM共點S。見图2。

这三条对角线 RP, GI, JM 是 pascal线。見图2a。连线 FC, BE, AD。

AD 和 BE 交  H, G-H-I 是 紅 pascal线。

BE 和 CF 交  N,  J-N-M 是 录 pascal线。

AD 和 CF 交  Q, P-Q-R 是 兰 pascal线。

或

橢园周上六點交叉連线形成的六角形，其三条对角线共點。

橢园周上六點ABCDEF交叉連线形成的六角形RGMPQJ，其三条对角线RP,GQ,JM共點S。見图2c。

这个四点共线问题首次发表在【数学通报】1955年第二期【数学同题及解答栏】中。本文将它分解为三个三点共线问题

三点共线1题,  附图1。

圆周三角形ABC，圆心O。 圆周上任一点D，連接DB，作DB的垂直线交AC边於X。連接DC，作DC的垂直线交AB边於Y。则X-O-Y三点共线。

三点共线1解,  附图1a。

延长DX，交圆周於S。由于角SDB为直角，S，O，B三点共线。延长DY，交圆周於T。由于角TDC为直角，T-O-C三点共线。

A, B, C, D, S, T 六点共圆，由Pascal定理，AB和DT的交点Y，AC和DS的交点X，TC和SD的交点O，Y-O-X三点共线。

三点共线2题, 附图2。

圆周三角形ABC，圆心O。圆周上任一点D。連接DA，作DA的垂直线交BC边於Z。連接DC，作DC的垂直线交AB边於Y。则Z-Y-O 三点共线。

三点共线2解,  附图2a。

连结DZ，交圆周於P，由于角PDA为直角，A，O，P三点共线。延长DY，交圆周於T，由于角TDC为直角，T-O-C三点共线。

A, T，B, P，D, C 六点共圆，由Pascal定理，AB和DT的交点Y，BC和PD的交点Z，TC和PA的交点O，Z-Y-O三点共线。

三点共线3题, 附图3。

圆周三角形ABC，圆心O。圆周上任一点D。連接DB，作DB的垂直线交AC边於X。連接DA，作DA的垂直线交AB边於Z。则Z-O-X 三点共线。

三点共线3解,  附图3a。

连结DZ，交圆周於P，由于角PDA为直角，A-O-P三点共线。延长DX，交圆周於S，由于角SDB为直角，S-O-B三点共线。

A, S，C, D，P, B 六点共圆，由Pascal定理，AC和DS的交点X，BC和PD的交点Z，SB和PA的交点O，Z-O-X三点共线。

圆周三角形ABC，圆心O。圆周上任一点D

四点共线题,  附图4。

圆周三角形ABC，圆心O。圆周上任一点D。連接DB，作DB的垂直线交AC边於X。連接DC，作DC的垂直线交AB边於Y。連接DA，作DA的垂直线交BB边於Z,  则 X-O-Y-Z四点共线。

四点共线解,  附图4a。

延长DX，交圆周於S，由于角SDB为直角，S-O-B三点共线。延长DY，交圆周於T，由于角TDC为直角，T-O-C三点共线。連结DZ，交圆周於P，由于角PDA为直角，P-O-A 三点共线。

A, T，B，D，C，S 六点共圆，由Pascal定理，AB和DT的交点Y，AC和DS的交点X，TC和BS的交点O，Y-X-O三点共线。

A, B，P，D，C，S 六点共圆，由Pascal定理，BC和DP的交点Z，AC和DS的交点X，TC和PA的交点O，Z-X-O三点共线。

A, T，B，P，D，C 六点共圆，由Pascal定理，AB和DT的交点Y，BC和DP的交点Z，TC和PA的交点O，Y-Z-O三点共线。

因此，X-O-Y-Z 四点共线。