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全相位非整周期采样付里叶函数的正交性和周期性
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全相位预处理是通过对2N-1数据加线性卷积窗,补一个零移位相加产生的N阶数据.称全相位预处理数据.其物理意义是全部 N个不同起始相位的长N的数据.对中间采样移位相加产生的N阶数据(图1).过去讨论过它的特性:
1.全相位预处理数据两端连续,DFT周期加长时信号连续,频谱分析中频谱泄露小.
2.全相位预处理中2N-1数据加线性卷积窗,移位相加产生的是N阶循环卷积窗,泄露平方减小
下面讨论全相位预处理三角函数的另一种时域特性-全相位非整周期采样时的正交性和整周期性
 图1 全相位预处理数据的组成(N=8) | ||
若采样频率对exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号s整周期采样,N个采样相加等于零, 若非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m),这是数字滤波中数据泄露,信号正交性和整周期性破坏
若采样频率对全相位预处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号整周期采样，N个采样相加等于零, 若非整周期采样，N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^2,数字滤波中数据泄露平方减小
数学证明如下:
matlab验证如下:
N=32;f=3.1;p0=100;
win=ones(1,N);
win1=win/sum(win);
t=0:N-1;
s=exp(j*(pi*2*t*f/N+p0*pi/180));
s=s.*win1;
u=sum(s);
a=abs(u)%数据泄露
aa=a^2%数据泄露平方
win2=conv(win,win);
win2=win2/sum(win2);
t=-N+1:N-1;
s=exp(j*(pi*2*t*f/N+p0*pi/180));
s1=s.*win2;
sa=s1(N:end)+[0 s1(1:N-1)];
u2=sum(sa);
ua=abs(u2)%全相位数据泄露
aa = 0.001038465147448
ua =0.001038465147448
图2 非整周期采样数据泄露对比全相位非整周期采样数据泄露
图2是非整周期采样数据泄露对比全相位非整周期采样数据泄露.f是整数(整周期采样),数据泄露等于零,f是非整数(非整周期采样),数据泄露不等于零,f越大,数据泄露越小, 全相位数据泄露平方减小.
非整数采样时的泄漏除扣频率有关外,还和加窗有关,加窗可明显减少数据泄漏, 加不同窗泄漏大小不一样
全相位非整敕采样数据泄漏平方减小是由於全相位予处理中对2N-1数据加卷积窗引起昀,和移位还没有关系.移位前相加扣移位后相加是相同的.移位和正交性(采样和为另)无关,但和整周期性密切相关
图3 非整周期采样时域波形对比全相位非整周期采样时域波形(f=3.0-3.8)
图3是非整周期采样时域波形对比全相位非整周期采样时域波形
图3a)是整周期采样f=3.0时域波形.波形正负相等,
图3(c),(e),(g),(i)是非整周期采样f=3.2,f-3.4,f=3.6,f=3.8时域波形.波形正负不相等,正交性和整周期性破坏,数据泄露,图2(e)黑色面积相加等不于零.最左的近半周期正弦波是数据泄露
图3(b)是全相位整周期采样f=3.0时域波形.波形正负相等,
图3(d),(f),(h),(j)是全相位非整周期采样f=3.2,f-3.4,f=3.6,f=3.8时域波形.波形对中心反对称,波形正负相等,数据泄露小.图3(f)黑色面积相加等于零,数据泄露近似等于零.比图2(e)明显小
图3是初相0的sin采样全相位时域波形.波形对中心反对称,波形正负相等,其他相位的全相位时域波形有区别
从图3可看到三角函数sin(nx)通过全相位预处理后时域波形有round(n)个整周期(不是精确的4舍5入)
如图3(c)三角函数sin(3.2*x)全相位预处理前有3.2个周期,图3(d)全相位预处理后波形正好有round(3.2)=3个整周期
如图3(e)三角函数sin(3.4*x)全相位预处理前有3.4个周期,图3(f)全相位预处理后波形正好有round(3.4)=3个整周期
如图3(g)三角函数sin(3.6*x)全相位预处理前有3.6个周期,图3(h)全相位预处理后波形正好有round(3.6)=4个整周期
如图3(i)三角函数sin(3.8*x)全相位预处理前有3.8个周期,图3(j)全相位预处理后波形正好有round(3.8)=4个整周期
从图3还可看到round(n)个周期长度不一样长.是准整周期采样
非整周期采样的三角函数通过全相位预处理后变成准整周期采样
这个特性还没有数学证明.从全相位预处理三角函数的组成看(图1),三角函数全相位预处理后的N个采样左端的大部分是2N-1中点采样的右边项组成,右端的大部分是2N-1中点采样的左边项组成,即全相位预处理三角函数的2端是从中间切开形成的,所以全相位预处理数据两端连续,又整周期.图4中f从0.6变到1.4的全相位预处理三角函数的2端波形是相同的,频率变化只是中间波形有变化
如图4(a)三角函数sin(0.6*x)全相位预处理前有0.6个周期,图4(b)全相位预处理后波形正好有round(0.6)=1个整周期
如图4(c)三角函数sin(0.8*x)全相位预处理前有0.8个周期,图4(d)全相位预处理后波形正好有round(0.8)=1个整周期
如图4(a),图4(c)三角函数全相位预处理前波形<1个周期,全相位预处理后波形变成正好1个整周期.全相位预处理效果很清楚
图4 非整周期采样时域波形对比全相位非整周期采样时域波形(f=0.6-1.4)
这个特性包含有什么意义?任何频率,任何N值(数据长度),任何初相位的非整周期采样三角函数通过全相位预处理后都有这个特性.这个特性(自身数据移位相加可以改变周期)很特别,其他正交函数(如walsh函数)没有这个特性
非整周期采样的三角函数也可通过加窗使数据两端连续,频谱分析中频谱泄露小.但加窗后数据并没有变成整周期采样,加窗只改变包络,中间波形没有改变.这里可以看到全相位预处理和加窗的差别.全相位预处理是线性卷积窗+移位,这里移位是关键.
因为是自身数据移位相加,移位在DFT中是乘一个相位,所以全相位预处理后的三角函数及其频谱仍然保持原三角函数的特性.和单个DFT频谱比较有变化,但是变得更好,更正确.泄露平方减小,初相位正确
这个特性说明三角函数自身修复能力非常好,一个非整周期采样的,正交性破坏的三角函数通过全部 N个不同起始相位自身数据移位相加(全相位预处理)变成准整周期采样,
全相位IQ正交相位解调算法中,IQ信号是整周期采样.数据是非整周期采样.还能正确解调相位是因为这个特性
apfft水平相位特性是因为这个非整周期采样全相位处理三角函数的正交性和整周期性.没有想到30年前的重叠数字滤波方法会延伸到非整周期采样全相位处理三角函数的正交性和整周期性
(见下面apDIQ程序)
整周期采样(m,n=1,2,...)三角函数正交性数学公式
图5 三角函数正交性
三角函数正交性有2个方面:
1对单一三角函数,采样周期中波形正好有整数个整周期,采样周期中N个采样相加等零
2 对两个三角函数,m=n时其内积为pi, m不等於n时为另.
三角函数非整周期采样全相位预处理后的正交性指第一方面,即单一三角函数采样周期中波形正好有整数个整周期,采样周期中N个采样相加等零
对非整周期采样全相位预处理后的两个三角函数,m=n时其内积为pi, m不等於n时(相差不大时)并不等於零,而大於零.这样apIQ解调时,当信号频率偏离IQ信号频率时,仍可正确解调相位.这也是apfft中,当信号频率偏离主谱线频率时,在主谱线上仍可正确读出相位的原因,也是apfft具有水平相位特性的原因--非整周期采样的三角函数全相位预处理后变成整周期.
apDIQ
I=A1*sin(ft+p)*cosft=1/2*A1*sin(2ft+p)+1/2*A1*sinp I=1/2*A1*sinp
Q=A1*sin(ft+p)*sinft=-1/2*A1*cos(2ft+p)+1/2*A1*cosp Q=1/2*A1*cosp I-jQ=1/2*A1*sinp-j*1/2*A1*cosp p=atan(I/Q)
apDR
R1=a1*sin(ft+p1)*a1*sin(ft+p1)=-1/2*cos(2ft+p1+p2)a1^2+1/2*a1^2 R1=1/2*a1^2 a1=sqrt(2R1) a2=sqrt(2R2)
R12=a18sin(ft+p1)*a2*sin(ft+p2)=-1/2*cos(2ft+p)*a1*a2+1/2cos(p1-p2)*a1*a2 R12=1/2*a1*a2*cos(p1-p2) p1-p2=acos(2R12/a1/a2)
三角函数cosmx,sinmx正交性要求满足整周期采样的条件(要求m=1,2,...,m为整数)
三角函数分整数三角函数和小数(非整数)三角函数
整数三角函数信号有正交性和整周期性
小数(非整数)三角函数信号正交性和整周期性破坏,正交性和整周期性有误差
全相位非整周期采样三角函数 ap-sin APsin apsin ap-cos APcos apcos
全相位小数(非整数)三角函数的正交性和整周期性误差减小
*3种数字相位测量法(数字相关相位测量法,数字IQ正交相位解调法,DFT相位测量法)解调过程中都有信号非整周期采样对测量精度的影响,都可通过对测得的数据进行全相位处理,再进行解调
全相位DFT相位测量法(全相位预处理+FFT),见王选钢等文
全相位数字IQ正交相位解调法(全相位预处理+IQ正交变换),见任德柱文
全相位数字相关相位测量法(全相位预处理+数字相关),见梁浴榕文（外差激光干涉仪中的高精度相位测量研究）
DFT要求满足整周期采样的条件(m=k), 减小频谱泄露
数字IQ正交相位解调法(apDTQ)要求满足整周期采样的条件,减小数字滤波中的数据泄露
数字相关(DR)相位测量法要求满足整周期采样的条件,减小数字滤波中的数据泄露
数字Hilbert変換要求满足整周期采样的条件,减小端点对的影响
apfft
ap-Welch
ap-Hilbert
apCZT
apHHT
apOFDM
apDIQ
apDR
apLMD
王兆华, 候正信, 苏 飞. 全相位FFT频谱分析[J].通信学报, 2003-11A
王文先,刘合朋,钟正虎.基于ap-Welch的随机角振动信号的频谱估计方法研究[J].导航与控制 , 2017 , 16 (4)
张国亮.基于FPGA的无功功率测量仪的设计[D]. 哈尔滨理工大学, 2015，硕士 ap-Hilbert
周 云, 李世平, 罗 鹏, 等. 基于全相位 HHT 的瞬时频率测量[J]. 计量学报, 2012, 33(003): 266-271.
任德柱,邵高平,程娟. MIT中的一种基于全相位的IQ正交相位解调算法[J]. 信息工程大学学报.2014,15(4):447-452
孙山林. 全相位 OFDM 系统关键技术研究[D]. 天津大学, 2009.
Xing K, Hao K, Li M. A New Approach to Dense Spectrum Analysis of Infrasonic Signals[C]//International Conference of Pioneering Computer Scientists, Engineers and Educators. Springer, Singapore, 2017: 134-143. apCZT
屈红伟. 基于LMD的故障特征提取方法及动平衡技术研究[D]. 北京化工大学,2015,硕士
基于快速傅里叶变换（FFT）的传统谐波分析法测电力电容器介质损耗因数（tanδ）时会由于非同步采样和非整周期截断造成频谱泄露和栏栅效应的问题,
用于测量介质损耗因数的谐波分析法很难满足整周期采样，产生的泄露误差将影响基波相位测量的精度
由于电网频率波动的影响导致非整周期采样对谐波有功功率计量的影响,传统的有功功率采样计算公式只适用于整周期采样方式
非整周期采样导致的频率测量不准确问题
减轻了非整周期采样给阻性电流测量造成的误差
实践中因无法保证对涡街流量信号的整倍率采样，受栅栏效应和频谱泄露的影响FFT计算的功率谱存在偏差
降低了基于DFT失真度测量方法中非整周期采样引起的频谱泄漏对测量的影响
很多数字测量设备中,都要求满足整周期采样的条件，由于电网频率可以在50±0.2 Hz的范围内波动，整周期采样初条件很难满足，
理论与实践都有信号非整周期采样对测量精度的影响
锁相是减小非整周采样误差最直接的手段,但需要锁相环硬件
加窗是减小非整周采样误差的一个手段
*全相位预处理(卷积窗+移位)是减小非整周采样误差另一个手段.有很多的应用:介损角测量,科氏质量流量计,磁感应断层成像,雷达系统,涡街流量计
