||
图(a)兰色是sin2t,整周期采样,红色是sin2.3t,非整周期采样。
图(b)红色是sin2.3t经过2阶全相位处理后的波形,它变成2个整周期的信号,但和兰色sin2t波形有差別。
图(c)红色是sin2.3t经过4阶全相位处理后的波形,它和兰色sin2t几乎完全相同了。
对任意频率,任意频偏的三角函数信号,都有同样的效果。如下图sin5.7t变成sin6t
所以全相位处理能够将非整周期釆样的正弦信号变成同频(小数4舍5入)整周期采样信号,髙阶全相位处理效果更好。
这就是apfft为什么在非周期采样时有好的性能的原因。
三角函数的正交性只有在整周期截断时才成立,非整周期采样时正交性不成立.
非整周期采样三角函数经过全相位处理后变成(近似)整周期采样,逼近正交性.如果使用高阶全相位预处理,变成更近似整周期采样,更逼近正交性.
全相位预处理是通过对数据加线性卷积窗,移位相加变成循环卷积窗数据.
二阶移位循环卷积窗处理是通过对2N-1数据加二阶线性卷积窗,补一个零经一次移位相加后产生的N阶数据, 称2阶移位循环卷积窗数据(ap数据).再作fft,称apfft(图1).
图1 二阶移位循环卷积窗预处理信号apfft
四阶移位循环卷积窗处理是通过对4N-3数据加4四阶线性卷积窗,补三个零经三次移位相加后产生的N阶数据, 称4阶移位循环卷积窗数据(4ap数据).再作fft,简称4cfft(图2).
图2 四阶移位循环卷积窗预处理信号4cfft
N阶移位循环卷积窗处理是通过对N*(N-1)数据加N阶线性卷积窗,补(N-1)个零经N次移位相加后产生的N阶数据后作fft, 称N阶移位循环卷积窗数据.(Nap数据)再fft简称ncfft(图2).
下图3显示非整周期采样正弦函数经过全相位预处理后变成(近似)整周期采样,
图3 两种全相位预处理非整周期采样正弦函数正交性的波形
图3(a)fft信号中红色是非整周期采样f=2.3正弦函数波形. 对照图3(a)兰色是整周期采样f=2.正弦函数波形,末处理信号是非整周期采样.
图3(b)apfft信号中红色是经过apfft预处理后非整周期采样f=2.3正弦函数波形.对照图3(b)兰色整周期采样f=2.正弦函数波形. apfft处理信号近似於整周期采样.
图3(c)4cfft信号中红色是经过4cfft预处理后非整周期采样f=2.3正弦函数波形.对照图3(c)兰色整周期采样f=2.正弦函数波形. 4cfft处理信号更逼近整周期采样.
所以全相位预处理将非整周期采样三角函数整周期化效果很清楚,4阶移位循环卷积窗4cfft比2阶移位循环卷积窗apfft整周期化效果更好
如果用更高阶移位循环卷积窗逼近程度更好.这说明全相位处理非整数采样正弦函数正交性是一种有效的有趣的方法.正弦函数的正交性在非周期采样时仍可逼近成立。其数学上和应用上的意义须进一步探索.
若采样频率对exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号整周期采样,N个采样相加等于零,
若对exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样,N个采样和振幅等于sinc(pi*m),这是数字滤波中数据泄露,信号正交性和整周期性破坏
若2阶全相位处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样,N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^2,数字滤波中数据泄露平方减小
若4阶全相位处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样,N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^4,数字滤波中数据泄露4次方减小
若8阶全相位处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样,N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^8,数字滤波中数据泄露8次方减小
若16阶全相位处理ap_exp(j*(2*pi*m/N+p0))信号非整周期采样,N个采样和振幅等于sinc(pi*m)^16,数字滤波中数据泄露16次方减小
全相位予处理+fft apFFT 王兆华, 候正信, 苏 飞. 全相位FFT频谱分析[J].通信学报, 2003-11A
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全相位予处理+互相关 apDR 全相位数字相关相位测量法apDR 振动论坛zhwang554博文
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全相位予处理+LMD apLMD 屈红伟. 基于LMD的故障特征提取方法及动平衡技术研究[D]. 北京化工大学,2015,硕士
屈红伟的论文P23提到
通过研究这种预处理的方式的性质,发现虽然实际信号包含了多种频率成分,且相互间会引起谱间干扰,而经全相位预处理后各主频的旁谱泄漏会减少,在全相位FFT分析时,能改善频谱特性;并且提出了apFFT(全相位FFT)的分析方法,在理论和实际中都得到了验证。轴承故障诊断是通过频率成分来实现的,换句话说,只要不改变信号的有用频率成分,在信号分析的过程中就可以应用。全相位预处理不改变信号的主频成分,因此全相位预处理适在轴承诊断中
全相位预处理数据.其物理意义是全部 N个不同起始相位的长N的数据.对中间采样移位相加产生的N阶数据(图1)
N个不同起始相位的长N的数据的DFT振幅谱是相同的,相位谱不同
数据移位后的DFT振幅谱是相同的,引起一个相移
使用apfft会发现,为什么措施简单的全相位预处理能克服DFT的二个缺陷,泄漏和相移.原因是全相位预处理将非整周期采样数据恢复整周期,这样正交性恢复了
它在采样周期内的积分为另
它和另一个整周期截断的正弦函数相乘产生另一个整周期截断的正弦函数,这个新的正弦函数在采样周期内的积分为另
在频谱分析.求相位;解调调频调幅信号中经常用到上述正交性. 非整周期采样数据破坏了正交性,在处理信号时就会出现误差.经过全相位预处理后恢复正交性,在处理信号时误差就会减小
生成上图3的程序如下:
clc;clear;clf;close all;
N=32;f=2.3;p0=0;
win=ones(1,N);
win1=win/sum(win);
t=0:N-1;
s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);
s=s.*win1;
subplot(311),plot(s/max(s),'r.-'),grid
hold on
t=0:N-1;
s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);
s=s.*win1;
subplot(311),plot(s/max(s),'b.-');ylim([-1,1]);xlim([1,N])
title('(a) fft signal')
legend('f=2.3','f=2');
win2=conv(win,win);
win2=win2/sum(win2);
t=-N+1:N-1;
s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);
s1=s.*win2;
sa=s1(N:end)+[0 s1(1:N-1)];
subplot(312),plot(sa/max(sa),'r.-'),grid;xlim([1,N])
hold on
t=-N+1:N-1;
s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);
s1=s.*win2;
sa=s1(N:end)+[0 s1(1:N-1)];
subplot(312),plot(sa/max(sa),'b.-')
title('(b) apfft signal')
legend('f=2.3','f=2');
t=-2*N+2:2*N-2;
s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);
win2=conv(win,win);
win4=conv(win2,win2);
win4=win4/sum(win4);
s2=s(1:4*N-3);
s22=s2.*win4;
sb=[0 0 s22(1:N-2)]+s22(N-1:2*N-2)+s22(2*N-1:3*N-2)+[s22(3*N-1:4*N-3) 0];
subplot(313),plot(sb/max(sb),'r.-'),grid;xlim([1,N])
hold on
t=-2*N+2:2*N-2;
s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);
s2=s(1:4*N-3);
s22=s2.*win4;
sb=[0 0 s22(1:N-2)]+s22(N-1:2*N-2)+s22(2*N-1:3*N-2)+[s22(3*N-1:4*N-3) 0];
subplot(313),plot(sb/max(sb),'b.-')
title('(c) 4cfft signal')
legend('f=2.3','f=2');
非整周期采样正弦函数 sin(n.m)
if m<0.5 ap[sin(n.m)]=sin(n)
if m>0.5 ap[sin(n.m)]=sin(n+1)
xap 2ap 4ap 8ap 16ap
n.m 2.2 2.3 2.4 2.44
图5 5种全相位预处理非整周期采样正弦函数正交性的波形
图5(a)orignal信号中红色是非整周期采样f=2.44正弦函数波形. 对照图5(a)兰色是整周期采样f=2正弦函数波形,末处理信号是非整周期采样.
图5(b)2ap处理信号中红色是经过2ap预处理后非整周期采样f=2.44正弦函数波形.对照图5(b)兰色整周期采样f=2正弦函数波形. 2ap处理信号近似於整周期采样.
图5(c)4ap处理信号中红色是经过4ap预处理后非整周期采样f=2.44正弦函数波形.对照图5(c)兰色整周期采样f=2正弦函数波形. 4ap处理信号更逼近整周期采样.
图5(d)8ap处理信号中红色是经过8ap预处理后非整周期采样f=2.44正弦函数波形.对照图5(d)兰色整周期采样f=2正弦函数波形. 8ap处理信号更逼近整周期采样.
图5(e)16ap处理信号中红色是经过16ap预处理后非整周期采样f=2.44正弦函数波形.对照图5(e)兰色整周期采样f=2正弦函数波形. 16ap处理信号更逼近整周期采样.
clc;clear;clf;close all;.
N=32;f=2.4;p0=0;
win=ones(1,N);
win1=win/sum(win);
t=0:N-1;
s=sin(pi*2*t*f/N+p0*pi/180);
s=s.*win1;
subplot(411),plot(s/max(s),'r.-'),grid.
hold on.
t=0:N-1;
s=sin(pi*2*t*2/N+p0*pi/180);
s=s.*win1;
subplot(411),plot(s/max(s),'b.-');ylim([-1,1]);xlim([1,N]).
title('(a) fft signal').
legend('f=2.4','f=2');.
win2=conv(win,win);
win2=win2/sum(win2);
t=-n+1:n-1;
s=sin(pi*2*t*f/n+p0*pi/180);
s1=s.*win2;
sa=s1(n:end)+[0 s1(1:n-1)];
subplot(412),plot(sa/max(sa),'r.-'),grid;xlim([1,n]).
hold on.
t=-n+1:n-1;
s=sin(pi*2*t*2/n+p0*pi/180);
s1=s.*win2;
sa=s1(n:end)+[0 s1(1:n-1)];
subplot(412),plot(sa/max(sa),'b.-').
title('(b) apfft signal').
legend('f=2.4','f=2');.
t=-2*n+2:2*n-2;
s=sin(pi*2*t*f/n+p0*pi/180);
win2=conv(win,win);
win4=conv(win2,win2);
win4=win4/sum(win4);
s2=s(1:4*n-3);
s22=s2.*win4;
sb=[0 0 s22(1:n-2)]+s22(n-1:2*n-2)+s22(2*n-1:3*n-2)+[s22(3*n-1:4*n-3) 0];
subplot(413),plot(sb/max(sb),'r.-'),grid;xlim([1,n]).
hold on.
t=-2*n+2:2*n-2;
s=sin(pi*2*t*2/n+p0*pi/180);
s2=s(1:4*n-3);
s22=s2.*win4;
sb=[0 0 s22(1:n-2)]+s22(n-1:2*n-2)+s22(2*n-1:3*n-2)+[s22(3*n-1:4*n-3) 0];
subplot(413),plot(sb/max(sb),'b.-').
title('(c) 4cfft signal').
legend('f=2.4','f=2');.
t=-4*n+4:4*n-4;
s=sin(pi*2*t*f/n+p0*pi/180);
win2=conv(win,win);
win4=conv(win2,win2);
win8=conv(win4,win4);
win8=win8/sum(win8);
s2=s(1:8*n-7);
s22=s2.*win8;
sb=[0 0 0 0 s22(1:n-4)]+s22(n-3:2*n-4)+s22(2*n-3:3*n-4)+s22(3*n-3:4*n-4)+s22(4*n-3:5*n-4)+s22(5*n-3:6*n-4)+s22(6*n-3:7*n-4)+[s22(7*n-3:8*n-7) 0 0 0];
subplot(414),plot(sb/max(sb),'r.-'),grid;xlim([1,n]).
hold on.
t=-4*n+4:4*n-4;
s=sin(pi*2*t*2/n+p0*pi/180);
s2=s(1:8*n-7);
s22=s2.*win8;
sb=[0 0 0 0 s22(1:n-4)]+s22(n-3:2*n-4)+s22(2*n-3:3*n-4)+s22(3*n-3:4*n-4)+s22(4*n-3:5*n-4)+s22(5*n-3:6*n-4)+s22(6*n-3:7*n-4)+[s22(7*n-3:8*n-7) 0 0 0];
subplot(414),plot(sb/max(sb),'b.-').
title('(c) 8cfft signal').
legend('f=2.4','f=2');
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