Abstract

This dissertation reports a systematic study on analysis and identification of multiple parameter damped mechanical systems. The attention is focused on viscously and non-viscously damped multiple degree-of-freedom linear vibrating systems. The non-viscous damping model is such that the damping forces depend on the past history of motion via convolution integrals over some kernel functions. The familiar viscous damping model is a special case of this general linear damping model when the kernel functions have no memory.重点研究了粘性和非粘性阻尼多自由度线性振动系统。

         The concept of proportional damping is critically examined and a generalized form of proportional damping is proposed. It is shown that the proportional damping can exist even when the damping mechanism is non-viscous. 对比例阻尼概念做了深入研究，并进行了推广。

         Classical modal analysis is extended to deal with general non-viscously damped multiple degree-of-freedom linear dynamic systems. The new method is similar to the existing method with some modifications due to non-viscous effect of the damping mechanism. The concept of (complex) elastic modes and non-viscous modes have been introduced and numerical methods are suggested to obtain them. It is further shown that the system response can be obtained exactly in terms of these modes. Mode orthogonality relationships, known for undamped or viscously damped systems, have been generalized to non-viscously damped systems. Several useful results which relate the modes with the system matrices are developed. 将经典模态分析、模态正交性推广到一般非粘性阻尼系统，引入了（复）弹性模态和非粘性模态概念。

          These theoretical developments on non-viscously damped systems, in line with classical modal analysis, give impetus towards understanding damping mechanisms in general mechanical systems. Based on a first-order perturbation method, an approach is suggested to the identify non-proportional viscous damping matrix from the measured complex modes and frequencies. This approach is then further extended to identify non-viscous damping models. Both the approaches are simple, direct, and can be used with incomplete modal data. 基于一阶摄动理论，提出由所测复模态和频率来识别非比例粘性阻尼矩阵的方法，并推广到识别非粘性阻尼模型。

         It is observed that these methods yield non-physical results by breaking the symmetry of the fitted damping matrix when the damping mechanism of the original system is significantly different from what is fitted. To solve this problem, approaches are suggested to preserve the symmetry of the identified viscous and non-viscous damping matrix. 提出了保留粘性和非粘性阻尼矩阵对称性的方法。

         The damping identification methods are applied experimentally to a beam in bending vibration with localized constrained layer damping. Since the identification method requires complex modal data, a general method for identification of complex modes and complex frequencies from a set of measured transfer functions have been developed. It is shown that the proposed methods can give useful information about the true damping mechanism of the beam considered for the experiment. Further, it is demonstrated that the damping identification methods are likely to perform quite well even for the case when noisy data is obtained. 用具有局部约束层阻尼的梁进行了试验验证。

Contents

Declaration                                          v

Abstract                                          vii

Acknowledgements                          ix

Nomenclature                                   xxi

1 Introduction                                                                                      1

       1.1 Dynamics of Undamped Systems . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

              1.1.1 Equation of Motion . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3

              1.1.2 Modal Analysis .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ….. . . . . . . . . 4

       1.2 Models of Damping . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

              1.2.1 SingleDegree-of-freedom Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

              1.2.2 ContinuousSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

              1.2.3 MultipleDegrees-of-freedom Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

              1.2.4 Other Studies .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

       1.3 Modal Analysis of ViscouslyDamped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

              1.3.1 The State-SpaceMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

              1.3.2 Methods inConfiguration Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

       1.4 Analysis ofNon-viscously Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

       1.5 Identification ofViscous Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

              1.5.1 SingleDegree-of-freedom Systems Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

              1.5.2 MultipleDegrees-of-freedom Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

       1.6 Identification ofNon-viscous Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

       1.7 Open Problems . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

       1.8 Outline of theDissertation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 The Nature of Proportional Damping                                           25

       2.1 Introduction . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

       2.2 Viscously DampedSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

              2.2.1 Existence ofClassical Normal Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

              2.2.2 Generalizationof Proportional Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

       2.3 Non-viscously Damped Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

              2.3.1 Existence ofClassical Normal Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

              2.3.2 Generalizationof Proportional Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

       2.4 Conclusions . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Dynamics of Non-viscously Damped Systems                                             37

       3.1 Introduction . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

       3.2 Eigenvalues andEigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

              3.2.1 Elastic Modes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

              3.2.2 Non-viscousModes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

              3.2.3 Approximationsand Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

       3.3 Transfer Function . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

              3.3.1 Eigenvectors ofthe Dynamic Stiffness Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 46

              3.3.2 Calculation ofthe Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

              3.3.3 Special Cases .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

       3.4 Dynamic Response . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

       3.5 Summary of theMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

       3.6 Numerical Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

       3.7 The System . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

              3.7.1 Example 1:Exponential Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

              3.7.2 Example 2: GHMDamping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

       3.8 Conclusions . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Some General Properties of the Eigenvectors                                      61

       4.1 Introduction . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

       4.2 Nature of theEigensolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

       4.3 Normalization ofthe Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

       4.4 Orthogonality ofthe Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

       4.5 RelationshipsBetween the Eigensolutions and Damping . . . . . . . . . . . . . . 66

              4.5.1 Relationships inTerms of M−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

              4.5.2 Relationships inTerms of K−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

       4.6 System Matrices inTerms of the Eigensolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

       4.7 Eigenrelations forViscously Damped Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

       4.8 Numerical Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

              4.8.1 The System . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

              4.8.2 Eigenvalues andEigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

              4.8.3 Orthogonality Relationships. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

              4.8.4 RelationshipsWith the Damping Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

       4.9 Conclusions . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Identification of Viscous Damping                                                     75

       5.1 Introduction . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

       5.2 Background ofComplex Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

       5.3 Identification ofViscous Damping Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

       5.4 Numerical Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

              5.4.1 Results forSmall γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

              5.4.2 Results forLarger γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

       5.5 Conclusions . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6 Identification of Non-viscous Damping                                                     95

       6.1 Introduction . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

       6.2 Background ofComplex Modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

       6.3 Fitting of theRelaxation Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

              6.3.1 Theory . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

              6.3.2 SimulationMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

              6.3.3 NumericalResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

       6.4 Selecting the Value of ˆ μ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

              6.4.1 Discussion . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

       6.5 Fitting of the CoefficientMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

              6.5.1 Theory . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

              6.5.2 Summary of theIdentification Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

              6.5.3 NumericalResults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

       6.6 Conclusions . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7 Symmetry Preserving Methods                                                   123

       7.1 Introduction . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

       7.2 Identification ofViscous Damping Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

              7.2.1 Theory . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

              7.2.2 NumericalExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

       7.3 Identification of Non-viscousDamping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

              7.3.1 Theory . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

              7.3.2 NumericalExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

       7.4 Conclusions . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8 Experimental Identification of Damping                                             143

       8.1 Introduction . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

       8.2 Extraction ofModal Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

              8.2.1 LinearLeast-Square Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

              8.2.2 Determination ofthe Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

              8.2.3 Non-linearLeast-Square Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

              8.2.4 Summary of theMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

       8.3 The BeamExperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

              8.3.1 ExperimentalSet-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

              8.3.2 ExperimentalProcedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

       8.4 Beam Theory . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

       8.5 Results andDiscussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

              8.5.1 Measured andFitted Transfer Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

              8.5.2 Modal Data . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

              8.5.3 Identification ofthe Damping Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

       8.6 Error Analysis . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

              8.6.1 Error Analysisfor Viscous Damping Identification . . . . . . . . . . . . . 175

              8.6.2 Error Analysisfor Non-viscous Damping Identification . . . . . . . . . . . 179

       8.7 Conclusions . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

9 Summary and Conclusions                                                                       185

       9.1 Summary of theContributions Made . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

       9.2 Suggestions forFurther Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

A Calculation of the Gradient and Hessian of the Merit Function                      191

B Discretized Mass Matrix of the Beam                                                        193

References                                                                                               195