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关键字：全相位 FFT 校正精度

通过对apFFT算法在VC下的编码实现，证实了一些问题，也发现了一些问题。现在将我的测试过程和结果做一个叙述，以便为有需要的人提供一点参考。

首先，可以肯定的是，这个算法的意义，非常重大，毋庸置疑。在此，对王兆华教授及其团队致以崇高的敬意。但是，书中的一些数据和说法略失偏颇。我对信号处理知之甚少，工作的需要，做了一些了解，在此发表一点自己的观点和看法，欢迎指正。

我测试的结果有两大发现：1，测试结果显示，apFFT确实有初始相位不变性，精度非常高，具体多高，后面有相关的测试数据。
                      2，校正的精度并没有作者所说的那么高。具体的校正精度到底怎么样，没有详细的表述。

作者在书中说，apFFT对相位、频率和幅值都可以高精度的校准。从他的测试方式和相关的数据来看，这种说法是不严密的。
理由如下：
1，他的测试都是基于FFT的分辨率为1Hz的条件来测试的，这一点可以从数据抽取函数看出。
2，他的测试只是测试了很多离散的频点，不具有一般性。

首先说一下，我的算法的结果和matlab的结果一致，也就是说我的算法本身是没有问题的。
我最开始试图采用apFFT/apFFT来做校正，测试发现，相位和频率的精度非常高，但是，幅度的校正精度最差达0.38%。由于我的测试系统的精度要求是0.2%，这达不到我的要求。为此，我在振动论坛上发帖，希望得到答案。但是，最近我老是上不了论坛，不知道怎么回事？

于是，我寻求别的解决办法，通过对比FFT/apFFT和apFFT/apFFT的校正公式，发现它们不同。于是，我用FFT/apFFT算法，再做了一次测试，发现幅度的校正精度比apFFT/apFFT的高，满足我的工程需要。至此，算是真正解决了非同步采样的FFT校正算法的问题。

我测试的前提是：测试的信号时直流加单频信号，采样点数均相同，所有的数据类型都是float型。对于多频率的信号，只要分辨率足够高，是完全可以分离的，这一点不用怀疑。我的测试方法和王教授的有些不同，具体如下：
1，使用不同的FFT分辨率做测试。
2，选取多个频点做测试。我的频点选取更具一般性，选取50.0到60.0，频率步进为0.1Hz。由于校正的原理是根据相位差来校正的，而为整数频点时相位差为0，随着频率的增大，相位差增大。也就是说，我选取的频点覆盖率很多的相位差，因此，更具一般性。

测试结果如下：
 
序号    算法    频率范围    分辨率    采样点数    频率精度    幅值精度    相位精度       
1    FFT/APFFT    50：0.1：60    16    256    2.77e-4    2.05e-3    1.67e-6       
2    FFT/APFFT    50：0.1：60    10    256    7.27e-5    4.22e-4    2.2e-7       
3    FFT/APFFT    50：0.1：60    8    256    2.55e-4    2.05e-4    6.7e-8       
4    FFT/APFFT    50：0.1：60    4    256    1.56e-4    2.96e-5    3.3e-7       
5    FFT/APFFT    50：0.1：60    1    256    3.87e-5    2.85e-6    2.77e-7    

对一组频率做校正后，我取最大偏差来计算校正精度。从数据上看，精度似乎不是随分辨率的降低而降低的。这是因为我取的频点少，数据不能较准确的反映真实的最大偏差。但是，上述结果还是能说明一些问题。

分析测试结果不难发现：
1，随着分辨率的升高，相位、频率和幅值的校正精度也逐渐升高。
2，相同的分辨率，相位的精度最高，频率的精度和幅值的精度差不多。
3，随着分辨率的降低，幅值的精度略低于频率，相差越来越大。

王教授得出精度可以达到10的-12次方的结果的原因是，他选取的频率多接近整数频率，而一般接近整数频率的相差小，所以，误差也就小，精度自然也就高。当然，很多实际的情况是频率偏差较小，多在整数附近，因此，我们有时可以这样认为。

由于时间紧迫，没有做更多频点的分析，同时，我认为我的这个测试结果已经可以说明问题，不必再做更细的分析。

FFT的分辨率为：采样率除以一次FFT计算的点数。比如，采样率是512sps，数据进行256点FFT，那么FFT的分辨率就为2Hz，也就是说FFT变换的结果之间的间隔是2Hz。同时，我们也看到，一秒钟只能采样2组数据，能分析的最大频率为256Hz。因此，要想分析更高的频率，需要更高的采样率，而要想更高的分辨率，必须采样足够长的时间，他们是相互矛盾的。我们在实际工程中，希望尽快的计算得到结果，也希望有足够高的分辨率，只能权衡而确定一个合理的采样率和FFT计算点数。我们的系统的精度要求是0.2%，因此，选择分辨率为8Hz，较为合适。如果你的系统中需要分析两个频点很近的信号，建议保证两根谱线间的间距大于3。