关键字：apFFT 频谱校正 全相位

传统FFT利用三角函数的正交性，将信号分离出来，从而将时域的信号变换到频域。但是，它有一个很重要的前提：输入的序列必须是周期内等间隔采样的值，这样，FFT计算的结果才是我们想要的。
实际的情况是，很难做到等间隔采样。比如，交流电的频率是变化的，并不是固定的50Hz。如果采用按照50Hz的信号来采样，则计算结果将无法反映原始信号。

为什么会出现上述的情况呢？因为FFT是将截断的序列做周期延拓而得到无限长的序列的。当不是等间隔采样时，做周期延拓后，在首尾相接的地方，就会出现信号的跳变，与原始信号不一致，自然也就得不到想要的结果，在频谱上的表现就是频谱出现泄露。

传统FFT的结果可以通过一些算法实现频谱校正，如全能重心法、比值法等等。但都是基于FFT的结果，精度有限。

全相位FFT算法是天津大学的王兆华和候正信教授提出的，具有初始相位不变和有效防止频谱泄露的特性，在他的相关书籍上做过严格的证明，并有相应的matlab程序。

我的项目中，需要分析50±0.5Hz工频信号，所以，研究apFFT算法，希望解决非同步采样的频谱校正问题。

apFFT的算法是先对数据进行全相位预处理，然后进行传统的FFT运算。FFT运算大家都熟悉，在这里，我说说全相预处理的过程。

全相位预处理过程如下：
1，构成一个N点的汉宁窗。
2，汉宁窗对自己求卷积，得到2N-1点的卷积窗。
3，求2N-1点的卷积窗的和。
4，将卷积窗的每一项除以卷积窗的和，得到2N-1点的归一化卷积窗。
5，将数据的1：2N-1项和归一化卷积窗相乘，得到加窗的2N-1项。
6，将第1项和N+1项，第2项和N+2项 ... 第N-1项和第2N-1项相加，得到经过全相预处理的N点序列。
接下来就只需要进行FFT，就可以得到apFFT的结果。

如果我们观察结果全相位预处理的信号，由原来的带有跳变的信号变为平滑连续的信号，使得周期延拓后不会出现信号的跳变。

下面是apFFT的matlab程序：
close all;clc;clear all;
N=256;
t=-N+1:2*N-1;
f1=39.8;
f2=51.345;
A1=5;
ph1=30;
s=A1*cos(1*(2*pi*t*f1/N/50-ph1*pi/180));%+A1*cos(1*(2*pi*t*f2/N+ph1*pi/180));
win=hanning(N)';
win1=hanning(N)';
win2=conv(win,win1);
win2=win2/sum(win2);
w=pi*2;
s1=s(1:2*N-1);
y1=s1.*win2;
y1a=y1(N:end) + [0 y1(1:N-1)];
Out1=fft(y1a,N);
a1=abs(Out1);
p1=mod(phase(Out1),2*pi);
s2=s(1+N:3*N-1);
y2=s2.*win2;
y2a=y2(N:end) + [0 y2(1:N-1)];
Out2=fft(y2a,N);
a2=abs(Out2);
p2=mod(phase(Out2),2*pi);
g=mod((p2-p1)/pi/2,1);
h=2*pi*g.*(1-g.*g)./sin(pi*g);
aa1=abs((h.^2).*a2)/2;
rr=round(f1);
disp('频率校正值')
fff=floor(f1)+g(rr+1)
disp('振幅校正值')
aaa=aa1(floor(f1)+1);
disp('初相位校正值')
ppp=p1(rr+1)*180/pi;

通过在VC下编码验证，apFFT具有很高精度的初始相位。采用apFFT/apFFT时移相位差法，可以高精度的修正频率偏差和幅值偏差。这个算法对于非同步采样处理的意义，不言而喻。与传统fft频谱校正的主要区别在于，apFFT的初始相位是准确的，相位差也就是准确的，频率也就可以校正准确，所以具有更高的精度。王教授对各种校正方法做过详细的测试和对比，若希望了解相关内容，可查阅《数字信号全相位谱分析与滤波技术》一书