声学的基本理论在于研究振动与波的传播.如果质点振动的方向与波的传播方向相同,就称为纵波.如果质点振动方向和波的传播方向垂直,就称为横波.
在空气和水中,机械振动只能产生纵波.在固体中除了纵波之外,还可能有横波.图5-2表示在空气中机械振动所引起的空气疏密状态的变化.质点的这种变化,使声能向四周扩散.在声波传播的过程中,质点本身并不随声波向四周扩散,它只在某一固定点附近来回运动.它的加速度总是与运动路径上离固定点的距离x成正比,而其方向指向固定点.这种运动,我们称之为简谐运动.它是周期运动的最简单的形式.用微分方程来表示,就是
它的解是
x(t)=Asinωt+Bcosωt (5.2)
其中A,B是任意常数,ω是圆频率,单位是rad·s-1(弧度·秒-1).我们有时也用f=ω/2π来表示质点每秒振动的次数,单位为Hz(赫兹).现代声学研究的频率范围为10-4Hz~1014Hz如表5.1所示.
表5.1 声学中的频率范围
范围名称 |
频率/Hz |
范围名称 |
频率/Hz |
次声 |
10-4~20 |
超声 |
2×104~1014 |
可听声 |
20~2×104 |
|
|
声波在媒质中的传播速率为
其中E是媒质的弹性模量,单位为Pa(帕),ρ是媒质密度,单位是kg·m-3.
声波在15℃的空气中的传播速率为c=340m·s-1,在淡水中c=1440m·s-1,在海水中c=1500m·s-1,在钢中c=5000m·s-1.
声波在传播过程中把机械振动的能量向四周扩散.声波的声强被定义为每单位面积上沿波传播方向传递的平均功率,即(缺失)
其中prms是有效(均方根)压强,单位为N·m-2(牛顿·米-2),ρ是密度,单位为kg·m-3(千克·米-3),而c是声速,单位为m·s-1(米·秒-1).
由于在声学环境中会遇到量程很宽的声压和声强,所以通常把声强与某一基准声强I0的比值取对数之后来度量,也就是声强级
IL=10lg(I/I0)dB(分贝) (5.5)
I0也称为参考声强级.
声压级 SL=20lg(p/p0)dB (5.6)
其中p0是参考声压级.
在空气声学中,一般把人耳能听到的最低声压级(称为可听阈)取作参考声压级,这个值大约是
p0=2×10-5N·m-2
或20μPa(微帕).以此为标准,可以得到表5.2.
表5.2 声压级
名称 |
声压级/dB |
名称 |
声压级/dB |
人耳最低可听阈 |
0 |
交响乐团演奏,10m处 |
80 |
普通谈话,1m之内 |
60 |
人耳痛阈声压 |
120 |
在水声学中,通常取p0=1×10-6N·m-2,即1μPa为参考声压.一般千吨级的货轮的螺旋桨在航速为18km·h-1时,在离它100m处接收到的声压大约是90dB.
5.2.2 波动方程
具有质量和弹性的系统都能作相对运动.如果在一个给定的时间间隔之后,该系统的运动重复出现,这样的周期运动就称为振动.振动产生声波.为了刻划振动体各点的运动情况,必须了解物体振动时所遵循的规律.这种规律的特点除了受物体本身的形状、质量及弹性特征的控制之外,也受到外界媒质及振动条件的限制.
描写物体振动的方程通常是二阶微分方程,称之为波动方程.加上各种边界条件就可以把波动方程的解求出来.这就是声波.
最简单的声波形式是平面波.空气在受到扰动时,通常以纵向正弦波的方式通过三维空间传播.假定在y和z方向没有压力变化,可以把沿x方向传播的一维自由行波定义为平面波.波动方程是(缺失)
其中c是波的传播速度,u是瞬时位移.式(5.7)的通解是
u(x,t)=Aej(ωt-kx)+Bej(ωt+kx) (5.8)
其中k=ω/c称为波数.A、B是由初始条件和边界条件确定的常数.
除了平面声波之外,另一种简单的声波形式是球面波.一个脉动球的表面在其平衡位置附近径向膨胀和收缩时,将使声波以球面波形式向外扩散.在球坐标中,三维波动方程可以写成(缺失)
其中p是声压,r是从声源到波阵面的径向距离.方程(5.9
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