图中左侧的i值是apfft证明公式中的f(n-i)及移位位数i

                图1 1cfft, 2cfft的采样时间以及移位后的排列

     3cfft用了9个长N序列, 这些序列在数据序列中的采样时间以及移位后的排列见图2, 它是2cfft中昀全相位数据组和[1 1 1]的线性卷积, 3cfft的数据组中有的长N序列中不包含X(0), 但这个序列和包含X(0)序列在一个全相位数据组中.

     囱2中3cfft上图的9行之和即为3阶线张卷积窗后的信号[ X-3  3X-2  6X-1 7X0  6X1  3X2  X3], 图2中3cfft下图(移位后的排列见)的9行之和即为3阶循环张卷积窗后的信号[7X0+X3+X-3  6X1+3X-2  3X2+6X-1]

                                          图2    3cfft的采样时间以及移位后的排列

      4cfft用了27个长3序列, 4cfft的采样时间见图3,它是3cfft中昀数据组和[1 1 1]的线性卷积, 4cfft有9个3x3全相位数据组, 这9全相位数据组都包含X0, 而且将包含X0的3x3全相位数据组都包含了,X0遍历3x3全相位数据组27个位置中的每一个位置.

      图3中4cfft的27行之和即为4阶循环张卷积窗后的信号[X-4  4X-3  10X-2  16X-1 19X0  16X1  10X2  3X3 X4],

                                            图3       4cfft的采样时间

       4cfft移位后的排列见图4,图4中4cfft的27行之和即为4阶循环张卷积窗后的信号[19X0+4X3+4X-  16X1+10X-2+X4  16X-1+10X2+X-4]

                                                            图4        4cfft移位后的排列

          图1,2,3,4以N=3矩形窗为例说明各阶循环卷积窗的序列采样时刻和移位后的安排,是最简单的例子,用於数学证明插值公式.但矩形窗系数为1, 如何加窗的过程不能明显看出.

      为了显示各阶循环卷积窗形成过程.下面再以N=3三角窗为例说明各阶循环卷积窗的加窗过程, 及其序列采样时刻和移位后的安排.

     1-4cfft简称1-4窗

    图5为加1窗,2窗时的加窗过程

     1窗只有1行, 横向加窗[1 2 1]

      2窗有3行, 每行横向加窗[1 2 1]后(图5的2窗左图), 纵向3行加窗{1 2 1}’后得加2窗后的采样图形(图5的2窗右图). 图5的2窗右图的3行之和即为加2窗(2阶线性卷积窗)后的信号, 图5的2窗下图显示移位后的排列, 图5的2窗下图的3行之和即为2窗(2阶循环卷积窗)后的信号,即2窗fft前的信号[6X0  4X1+X-2  X2+4X-1]

                                                 图5    1窗,2窗时的形成过程

       3窗有9行, 图6的3窗左图由3个图5的2窗右图组成, 再纵向9行加窗{1 1 1 2 2 2 1 1 1}’得加3窗后的采样图形(图6的3窗右图). 图6的3窗右图的9行之和即为3窗(加3阶线性卷积窗)后的信号,

[ X-3  6X-2  15X-1 20X0  15X1  6X2  X3],

      3窗下图显示加3窗移位后的排列,9行之和为3窗(3阶循环卷积窗)后的信号,即为3窗fft前的信号

[7X0+X3+X-3  6X1+3X-2  3X2+6X-1]

                                                图6    3窗的形成过程

        图7为加4窗时的加窗过程. 4窗有27行, 图7中4窗左图由3个3窗右图组成, 再纵向27行加窗{1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1}’ 得加4窗后的采样图形(4窗右图), 27行之和即为4窗加3阶线性卷积窗后的信号

[X-4  8X-3  28X-2  56X-1 70X0  56X1  28X2  8X3   X4],

                                              图7    4窗的形成过程

图8为加4窗时的移位后的排列,27行之和即为4窗循环卷积窗后的信号,即4窗fft前的信号

[8X-3+70X3+8X3  28X-2+56X1+X4  X-4+56X-1+28X2]

                       图8    4窗移位后的排列

          图1 2 3 4,5,6,7,8显示的1窗1窗3窗4窗的形成过程, 也是1维2维3维4维信号在2维平面上的形成过程及显示图.是在平面上显示高维信号的实例.