声学的基本理论在于研究振动与波的传播．如果质点振动的方向与波的传播方向相同，就称为纵波．如果质点振动方向和波的传播方向垂直，就称为横波．

在空气和水中，机械振动只能产生纵波．在固体中除了纵波之外，还可能有横波．图5-2表示在空气中机械振动所引起的空气疏密状态的变化．质点的这种变化，使声能向四周扩散．在声波传播的过程中，质点本身并不随声波向四周扩散，它只在某一固定点附近来回运动．它的加速度总是与运动路径上离固定点的距离x成正比，而其方向指向固定点．这种运动，我们称之为简谐运动．它是周期运动的最简单的形式．用微分方程来表示，就是

它的解是

x（t）=Asinωt+Bcosωt                                   （5.2）

其中A，B是任意常数，ω是圆频率，单位是rad·s^-1（弧度·秒^-1）．我们有时也用f=ω/2π来表示质点每秒振动的次数，单位为Hz（赫兹）．现代声学研究的频率范围为10^-4Hz～10¹⁴Hz如表5.1所示．

表5.1  声学中的频率范围

范围名称	频率/Hz	范围名称	频率/Hz
次声	10-4～20	超声	2×104～1014
可听声	20～2×104

 

声波在媒质中的传播速率为

其中E是媒质的弹性模量，单位为Pa（帕），ρ是媒质密度，单位是kg·m^-3．

声波在15℃的空气中的传播速率为c=340m·s^-1，在淡水中c=1440m·s^-1，在海水中c=1500m·s^-1，在钢中c=5000m·s^-1．

声波在传播过程中把机械振动的能量向四周扩散．声波的声强被定义为每单位面积上沿波传播方向传递的平均功率，即（缺失）

其中p_rms是有效（均方根）压强，单位为N·m^-2（牛顿·米^-2），ρ是密度，单位为kg·m^-3（千克·米^-3），而c是声速，单位为m·s^-1（米·秒^-1）．

由于在声学环境中会遇到量程很宽的声压和声强，所以通常把声强与某一基准声强I₀的比值取对数之后来度量，也就是声强级

IL=10lg（I/I₀）dB（分贝）                                                 （5.5）

I₀也称为参考声强级．

声压级                   SL=20lg（p/p₀）dB                                                                                 （5.6）

其中p₀是参考声压级．

在空气声学中，一般把人耳能听到的最低声压级（称为可听阈）取作参考声压级，这个值大约是

p₀=2×10^-5N·m^-2

或20μPa（微帕）．以此为标准，可以得到表5.2．

表5.2  声压级

名称	声压级/dB	名称	声压级/dB
人耳最低可听阈	0	交响乐团演奏，10m处	80
普通谈话，1m之内	60	人耳痛阈声压	120

 

在水声学中，通常取p₀=1×10^-6N·m^-2，即1μPa为参考声压．一般千吨级的货轮的螺旋桨在航速为18km·h^-1时，在离它100m处接收到的声压大约是90dB．

5．2．2  波动方程

具有质量和弹性的系统都能作相对运动．如果在一个给定的时间间隔之后，该系统的运动重复出现，这样的周期运动就称为振动．振动产生声波．为了刻划振动体各点的运动情况，必须了解物体振动时所遵循的规律．这种规律的特点除了受物体本身的形状、质量及弹性特征的控制之外，也受到外界媒质及振动条件的限制．

描写物体振动的方程通常是二阶微分方程，称之为波动方程．加上各种边界条件就可以把波动方程的解求出来．这就是声波．

最简单的声波形式是平面波．空气在受到扰动时，通常以纵向正弦波的方式通过三维空间传播．假定在y和z方向没有压力变化，可以把沿x方向传播的一维自由行波定义为平面波．波动方程是（缺失）

其中c是波的传播速度，u是瞬时位移．式（5.7）的通解是

u（x，t）=Ae^{j（ωt-kx）}+Be^{j（ωt+kx）}                                                             （5.8）

其中k=ω/c称为波数．A、B是由初始条件和边界条件确定的常数．

除了平面声波之外，另一种简单的声波形式是球面波．一个脉动球的表面在其平衡位置附近径向膨胀和收缩时，将使声波以球面波形式向外扩散．在球坐标中，三维波动方程可以写成（缺失）

其中p是声压，r是从声源到波阵面的径向距离．方程（5.9