4.3.1湍流流动的时均化及湍流度

    在湍流中，流体质点作混杂的、无规则和随机的非定常运动，它们在向下游流动的同时，不断与邻近的流体质点相互掺混，流体质点作无规则的横向脉动。所以湍流流动中的各流动物理量对于时间和空间坐标来说，呈现着随机性的脉动。图 4.4 给出了流体以湍流运动时，流场中某点处的速度变化。在任一瞬时，湍流流场中各点处的速度也是不相同的。由图 4.4 可以看出，湍流流动的各物理参数虽然是脉动的，但却在某一平均值上下变动，即服从统计规律。因此引进流动参数时均值的概念来分析湍流运动是方便的。下面以速度为例。

图 4.4 湍流流动速度的随机性

在图 4.4 中，取一时间间隔 T ， T 相对于整个运动来说是很短的，但相对于脉动运动来说又足够的长，把流体的瞬时速度 V 在时间 T 内取平均，得到时均速度 为

                                （ 4.15 ）

通常把各个物理量，例如瞬时速度 V 表示成时均速度 与脉动速度 之和，即

显然，脉动速度的时均值等于零。即

                          （ 4.16 ）

对于流场中的压强、密度、温度等都可以将其瞬时值表示为时均值与脉动值之代数和。

一般来说，取时均值后的物理量 仍是时间 t 和空间坐标的函数，这种湍流称为非定常湍流。

    引入湍流时均值的概念之后，对于湍流的一切概念都是从时均值的意义上定义的。对于工程中的大多数问题都是稳定的湍流流动（即时均化后的物理量与时间 t 无关），如果流动是一维的，则前面讨论的一维定常流基本方程（如连续方程、动量方程、柏努利方程）都是适用的。引入时均值的概念后，给处理湍流流动带来了很大的方便。但是它掩盖了湍流脉动运动的物理本质。因此在分析诸如湍流流动阻力时，就必须考虑流体质点及微团相互掺混进行动量交换的影响，即计算流体质点及微团混杂运动引起的阻力，否则会引起较大的误差。

为了描述湍流流动的随机性质，在工程中常采用湍流度的概念。湍流度用 表示，则

                                （ 4.17 ）

上式中，把脉动速度先平方，使之为正值，再作时间平均，然后取方根值。可以反映出脉动量绝对值的平均大小。

在普通风洞中， 小于 1% 。

    需要说明的是，在讨论湍流的时均特性时，其流动参数均指时均参数，因此以下的研究均略去了时均参数的符号“-”。

4.3.2圆管中湍流流动的切应力及速度分布

    实验观察发现，在管内和绕物面的流动中，流动可以分为三层，即粘性底层、过渡区和湍流核心区。由于流动受壁面的限制，在靠近壁面的簿层内，流体质点没有横向的脉动，因此在壁面附近，流体质点的运动仍然保持有序的层流流动，该层流体称为粘性底层。离开壁面一段距离后，壁面的影响逐渐减弱，流动呈现出波动状态，流线弯曲，该区域称为过渡区。过渡区之外的是湍流核心区，即完全发展的湍流核心区，该区域内的流动完全不受壁面粗糙度的影响。图 4.5给出了壁面湍流的结构示意图。

图 4.5壁面湍流的结构示意图

粘性底层的厚度很薄，其厚度大概仅有几分之一毫米。 根据理论 分析和实验结果知，粘性底层的厚度为

                                （ 4.18 ）

可见随着雷诺数的增加， 粘性底层的厚度减小。

一、 湍流流动的切应力分布及摩擦力

湍流流动的切应力分布与层流流动的表达形式完全相同，即由式

不过，对于 湍流流动， 流过截面上的壁面切应力 与层流不同，因此其切应力分布的斜率不同。图 4.6 给出 了 壁面切应力 的比较，图中 ， 分别表示湍流壁面切应力和层流壁面切应力。

图 4.6 湍流和层流 壁面切应力的比较

在湍流流动中，由于流体质点的大量混杂运动，其阻力损失大大的超过了层流的阻力损失。

在层流区或粘性底层，由于流体流动的有序性或壁面的限制，流体质点横向脉动引起的切应力很小，因此切应力主要是分子粘性切应力 ，可以用牛顿 内摩擦定律表示。

在湍流核心区，既有层流流动的分子粘性切应力 ，也有湍流流动的流体质点横向脉动引起的湍流切应力 。根据普朗特混合长度理论，平面定常均匀湍流的切应力可以表示为

称为普朗特混合长度，由实验确定。 为 方向上的时均速度梯度。

在计算湍流流动时，由于 ，因此为了研究方便，通常略去式中的第一项。下面在导出速度分布时同样可以忽略分子粘性应力 。

二、 湍流流动的速度分布

由于湍流流动的复杂性，到目前为止，还无法像层流流动那样，严格地按理论分析导出湍流流动的速度分布规律，这里在一定的假设前提下，根据理论分析和实验相结合的方法来研究湍流流动的速度分布。

1、粘性底层速度分布

在 粘性底层中，由于厚度很薄，因此可以认为是层流流动， 切应力可以用壁面切应力表示，即 ，而且 速度分布也可认为是线性的，由牛顿内摩擦定律得到

，即

积分得

                                （ 4.19a ）

并引进摩擦速度的定义，即

代入式（ 4.19a ）得到

                            （ 4.19b ）

式（ 4.19 ）即为粘性底层的速度分布规律。

    可见粘性底层的速度分布为线性分布。这实际上是层流速度抛物线分布规律在粘性底层中的近似处理。

2、过渡区的速度分布

    在过渡区内，由于粘性应力与湍流切应力具有相同的数量级，因此难以进行理论分析。其速度分布要用实验来确定。工程中常将过渡区按湍流流动的速度分布规律来确定。

3、湍流核心区的速度分布

    在湍流流动中，由于粘性底层的存在，壁面的粗糙度对流动损失的影响与粘性底层厚度 有关。当 时，粘性底层完全掩盖了管壁的粗糙部分，核心区中的流动完全感受不到粗糙度的影响，这种状态下的流动管道称为水力光滑管。当 时，管壁的粗糙度暴露在粘性底层之外，粗糙表面造成的漩涡增加了流动损失，这种情况下的管道称为水力粗糙管。因此两种管道中的速度分布也不相同。

假设湍流切应力 与壁面切应力具有同样的数量级，因此有

湍流核心区的速度分布可以从普朗特混合长度理论得出。其基本思想是把湍流脉动与气体分子运动相比拟，认为流体微团脉动引起的切应力和分子运动引起的粘性应力非常相似。当湍流流动的时均流线为直线时，认为脉动引起的湍流可以表示为与粘性切应力具有类似的形式，即

                            （ 4.20 ）

式中， 为湍流粘度；混合长度 一般假设为 ， 由试验确定。

根据以上假设和式（ 4.20 ）可得

引进摩擦速度的定义，得

积分可得

令 ，则上式可写为

                                (4.21)

上式表明，湍流流动的速度分布是按对数规律分布的。式中的常数要由实验确定。

对于光滑的直圆管，根据实验可取 ，代入上式得

                    (4.22)

工程上，式 (4.22) 适合于除粘性底层以外的任何区域。

湍流流动的速度分布除了对数分布规律外，人们还根据实验结果归纳出了幂次方的速度分布规律，即

                                (4.23)

式中 n 随雷诺数而变化，具体数值如表 4-2 所示。

表 4-2 指数 n 随雷诺数的变化

由表可知，指数 n 随雷诺数的增大而增大，一般取 。当 ＝ 1.1 时， ，于是可得

                                (4.24)

这就是布拉休斯的 1/7 速度分布规律。

由式（ 4.22 ），可得 的圆管轴线上的最大速度为

                            (4.25)

通过圆管的流量为

当 时， ，由此确定式（ 4.21 ）中的常数 C ，代入式（ 4.21 ）可得 ，代入上式积分得平均速度为

                        (4.26a)

经实验修正后的平均速度为

                              (4.26b)

    湍流流动的速度分布规律按照对数规律或 幂次方的速度分布规律，其特点是在靠近壁面处的速度变化很大，在湍流区速度变化较小，这是由于湍流区流体质点的剧烈掺混，使得速度分布更加均匀。根据平均速度与最大速度之比可以得出，对于湍流流动，若用 1/7幂次方的速度分布，则 ，而层流流动 。

对于水力粗糙管，流速分布公式为

                                (4.27)

4.3.3圆管内沿程损失的实验研究

    尽管对于湍流流动的研究可以借助于计算机技术的发展从理论上进行研究，但是，从上节的讨论可以看出湍流流动是非常复杂的，因此对于湍流流动的研究，目前大多数问题还需要借助于实验才能够得到解决。 从沿程损失的计算公式（ 4.4 ）可以看出，沿程能量损失计算的关键仍然是沿程损失系数的确定。 大量研究表明，在不可压缩流动中，沿程损失系数 ，为确定这一函数关系的具体表达形式，必须经过大量实验的研究。本节主要介绍著名的尼古拉 兹 实验曲线以及莫迪的曲线。

    尼古拉兹对不同直径的管道进行了一系列的实验。为了模拟管壁的粗糙度，采用了人工粗糙的管壁，即以颗粒均匀的砂粒粘附在经过油漆后的管壁上，用砂粒直径 表示绝对粗糙度， 与管径之比 称为相对粗糙度。实验了 6 种不同粗糙度的圆管，实验时测出 ，并计算出 ，得到了 与 Re 的关联曲线，并以对数规律示于图 4.7 中。

图4.7尼古拉兹实验曲线

由图可以看出， 尼古拉兹的实验曲线可以分为五个阻力区域，每个阻力区域的 计算经验和半经验公式归纳如下。

层流区

    当时，与 Re 的关联曲线在对数坐标图上为一直线，所有的不同相对粗糙度的实验点都落在这一直线上，这条直线的方程正是 ，表明实验规律只与 Re 有关，而与 无关。

过渡区

    当时，出现了从层流向湍流过渡的不稳定现象。在该区域中，虽然实验点上下波动，但总的趋势是 随 Re 的增大而增大，此区可用扎依钦可的经验公式计算

                                (4.28)

光滑管区

    此区中的管壁粗糙度对 几乎没有什么影响，不同粗糙度的实验点都落在同一直线上，这种情况只能是粘性底层厚度 大于壁面粗糙度 时才能出现。流体就好像流过光滑的壁面一样。这个区域的范围为 ， 可用下列经验公式计算。

当 时，可以用布拉休斯公式计算，即

                                (4.29)

当 时， 采用尼古拉 兹 光滑管的经验公式

                            (4.30)

根据湍流的速度分布规律，尼古拉茨提出了一个适用于整个光滑管区的半经验公式

                            (4.31)

粗糙管区

    当时，随着 Re 的增大，粘性底层厚度逐渐减小，以至于不能掩盖粗糙不平的管壁表面，管壁粗糙度对流动产生影响。由图 4.5 可以看出，粗糙度越大，光滑管转变为粗糙管的雷诺数也越小。该区的 可用考尔布鲁克公式计算

                            (4.32)

考尔布鲁克公式不仅适合于粗糙管区，而且也适合于 的整个区域。这是一个湍流沿程损失的综合计算公式。

阻力平方区

    当时，为阻力平方区，该区的流动特点是粘性底层厚度趋近于零，粗糙表面全部暴露出来，沿程损失系数与雷诺数无关。沿程损失系数的计算公式为

                              (4.33)

为了便于计算，工程上还提出了一个适合于整个湍流的经验公式：

                              (4.34)

    在粗糙管区和阻力平方区，即从式 (4.32)—(4.33) 可以看出，沿程损失系数与管壁粗糙度 有关。由前所述， 尼古拉兹实验曲线揭示了管道中的沿程损失的规律，但这些规律的得出是有前提的。即该实验是在人工粗糙的管道（管壁粗糙度比较均匀）内进行的。实际的商品管道的壁面粗糙度不会像人工粗糙管那么均匀，而且实际管道粗糙部分的高度、形状和分布规律也不相同。因此实际中要把各种管壁的真实粗糙度通过实验换算成砂粒粗糙度。表 4-3给出了几种常用管道的绝对粗糙度，即与真实粗糙度相当的砂粒粗糙度。

表 4-3 　常用管道的绝对粗糙度

    在实际计算中，适合于工业管道使用的实验曲线类似于尼古拉兹的实验曲线 ,使用时可以查阅流体力学手册。

4.3.4 压缩性对沿程损失系数的影响

    由前面讨论可知，在不可压缩（液体或低速流动的气体）情况下，对于光滑管， 沿程损失系数仅仅取决于雷诺数，对于粗糙管，除了与雷诺数有关外，还与管壁的相对粗糙度有关。

    一般情况下，即在可压缩流动中，沿程损失系数除了与雷诺数和相对粗糙度有关外，还与马赫数有关。考虑压缩性影响时的沿程损失系数要用实验来确定。在粘性可压缩流动中， 压缩性对沿程损失系数的影响如图 4.8所示。图中 表示在相同雷诺数下可压缩流动的沿程损失系数与不可压缩流动的沿程损失之比，

图 4.8 压缩性对沿程损失系数的影响

由图可以看出：

1、当 时， 压缩性对沿程损失系数影响较小，按不可压缩流动的沿程损失系数计算不会引起太大的误差。

2、当 以后， 随 的增加而逐渐减小。 以后，沿程损失系数迅速下降。

3、在超 声速气流中，沿程损失系数比不可压缩流体要小一些，由实验知，

    对于管道长度L在10—50倍的管径时，当马赫数在 1.2—3.0 的范围内，雷诺数在 时，沿程损失系数在0.008—0.012之间，大约为不可压缩流体沿程损失系数的百分之五十左右。