各种有限元法有些什么区别？下来觉得各种方法都是基于从微分方程--〉积分方程--〉这样一个过程
它们的区别都在以下三个角度：

1。积分形式不同
(1)加权残数形式：就是直接用一个权函数乘以原本的微分表达

引出了：最小二乘法，配点法，矩量法，Galerkin法等等

(2)把加权残数形式积分方程分部积分一次，得到“弱形式”，此时，该积分方程中，对解是一阶导数，对权函数也是一阶导数。这个就是泛函意义上的弱解所应该满足的方程，（说一句题外话，泛函分析上用Lax-Milgram定理证明弱解唯一存在，却无法证明常规BEM方法的弱解是唯一的，这就是常规BEM法无法与有限元法结合的原因，因为有限元是必然弱解唯一的。）

弱形式引出了：FEM,能量有限差分法，数值流形法，无网格法

(3)把“弱形式”再分部积分一次，得到“逆形式”,此时，该积分方程中，对解是0阶导数，对权函数是二阶导数。

逆形式引出了：BEM,TrefftzBEM等等方法

2。以上的能量形式是最本质的区别，而后linlin820所问到的各种方法的区别，其实就是试函数中形函数的区别

（1）试函数的定义域

试函数：是用某一中形式的函数来替代该微分方程的解。常规有限元就用：u=N_i u_i,这里的u就是试函数。根据不同的方法，试函数的定义域不同。

比如：

Litz法的试函数定义在整个求解区域--〉有限元法的试函数定义在独立单元

康特罗维奇法的试函数定义在整个求解区域--〉有限条法在一个方向定义在整个区域，另一方向定义在独立单元。

（2）试函数中的形函数

试函数中，形函数取得不同，引发不同方法：取成多项式，则称为多项式有限元；取为有理函数，则成为有理有限元；取为完备解，则成为Trefftz有限元，以此类推，Linlin820的问题我想我已经解答清楚了。

而所谓的无网格法，究其根本，变化也不过在形函数上。

（3）试函数中的基变量
值得注意的是，不仅形函数可以有如此的变化，u_i也可以变化，当把u_i取为一个函数，而不仅仅用一个常数来代替的时候，就成为了数值流形方法。

3。除了试函数的不同，在能量积分中还有一项权函数，这也是区别各种计算方法的根本因素。

(1)当权函数取为试函数，则成为Galerkin方法，从而刚度矩阵的对称性成为可能。而我们遇到的众多有限元方法，大部分都是基于此，所以刚度矩阵对称。

(2)当权函数取为Green函数，则成为常规边界元法

(3)当权函数取为完备解，则称为Trefftz方法

(4)其余，就有可能是Petrov-Galerkin方法（即广义Galerkin方法）