首先，范数是一个向量大小的度量或一个系统增益的度量。向量范数越大，表示该向量越“大”，系统的范数越大，表示该系统的增益越“大“，即对输入信号的”放大”作用越强。对于一个向量，要衡量其大小，有不同的准则，不同的准则可定义不同的范数，这一点不同于标量，因为标量是比较简单的，一个标量的绝对值就可以视为它的范数，绝对值越大，表示该标量越大，这没什么争议。向量则比这要复杂，对于一个向量可以定义很多范数，比如最常见的欧几里得范数等等。对于一个多输入多输出的系统来说，可认为输入的信号是一个向量，输入的信号也是向量，比如三输入四输出的系统，可认为输入输入一个三维向量，输出一个四维向量。取输出向量的范数和输入向量范数的比值，并取其上确界，就是该系统的范数，并称该系统范数为由信号范数导出的范数。一个系统的H无穷范数就是其输入输出信号的2范数的导出范数。表示了该系统对输入信号的能量或功率的放大程度。明白了吗？

鲁棒控制中的H2问题和H-inf问题
现代鲁棒控制理论中，特别是多入多出系统（MIMO），H2问题和H-inf问题占据着中心地位，其中H2问题（也是一种特殊情况的LQG问题）研究的最多，最成熟，但是应用的却最少，相反却很大的促进了对线形系统的研究，也为H-inf问题的提出和解决铺平了道路。H2问题以最小化输出能量为控制其设计目标，上世纪六七十年代，人们把主要的研究投入到这个问题，由H2问题引出的H2控制，优化目标中没有考虑扰动（噪声），把只针对白噪声或者某一个噪声的信号有效果，此外现实中广为使用的乘法不确定性也很难考虑，而且H2范数不是诱导范数，数学运算受到很大限制，虽然H2控制可以把目标值优化为0，但实际应用中，不确定噪声很大衰减了性能及其稳定性。在80年代，传递函数的H-inf范数才被提出并被Doyle成功应用到鲁棒控制中， 线线系统的鲁棒控制得以完成，H-inf控制最小化传递函数（阵）的H-inf范数，也是传递函数矩阵最大奇异值的最大值，与H2控制对比，它以最小化最大奇异值的最大值（也可以形象地说是传递函数的峰值），只要求扰动和不确定性有界，而且H-inf范数是L2诱导范数，数学运算更加方便。九十年代只是针对结构不确定性的H-inf问题提出了结构奇异值综合法，并针对H-inf问题提出了更好的算法，分别针对解析解（H-inf次优解等）和数值解（LMI-线形矩阵不等式）两个方向发展，其中的LMI得以广泛的发展和推崇。
当然非线形系统的鲁棒控制，H-inf的思想也有很好的应用

第一次看鲁棒控制感觉扑朔迷离，理论艰深，特别是本科刚毕业时，需要很多的知识需要补充，矩阵分析是最基本的，复变函数，线形泛函，线形系统理论都是必修课。这些完成之后就可以学习鲁棒控制了，个人认为H2问题虽然应用少，但是理解了H2，H-inf就顺理成章，有的牛人讲课时，只讲H2问题，H-inf一笔带过。

所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。
鲁棒控制的发展背景（zt）

控制系统的鲁棒性研究是现代控制理论研究中一个非常活跃的领域,鲁棒控制问题最早出现在上个世纪人们对于微分方程的研究中。鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构，大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性（即系统中存在不确定因素 , 系统仍能保持正常的工作性能的一种属性）。

 
20世纪六七十年代，状态空间的结构理论的形成是现代控制理论的一个重要突破。状态空间的结构理论包括能控性、能观性、反馈镇定和输入输出模型的状态空间实现理论，它连同最优控制理论和卡尔曼滤波理论一起，使现代控制理论形成了严谨完整的理论体系，并且在宇航和机器人控制等应用领域取得了惊人的成就。但是这些理论要求系统的模型必须是已知的，而大多实际的工程系统都运行在变化的环境中，要获得精确的数学模型是不可能的。因此很多理论在实际的应用中并没有得到很好的效果。到了1972年，鲁棒控制这个术语在文献中首先被提出，但是对于它的精确定义至今还没有一致的说法。其主要分歧就在于对于摄动的定义上面，摄动分很多种，是否每种摄动都要包括在鲁棒性研究中呢？尽管存在分歧，但是鲁棒性的研究没有受到阻碍，其发展的势头有增无减。
鲁棒控制理论发展到今天，已经形成了很多引人注目的理论。其中 控制理论是目前解决鲁棒性问题最为成功且较完善的理论体系。Zames在1981年首次提出了这一著名理论，他考虑了对于一个单输入单输出系统的控制系统，设计一个控制器，使系统对于扰动的反映最小。在他提出这一理论之后的20年里，许多学者发展了这一理论，使其有了更加广泛的应用。
鲁棒控制理论的应用不仅仅用在工业控制中，它被广泛运用在经济控制、社会管理等很多领域。随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性会越来越多地被人们所重视，从而使这一理论得到更快的发展。

1.2鲁棒控制的发展历史及基本内容
对于一个控制系统,无论采用什么样的设计技术,控制器一般总是(但不完全是)基于与被控对象动态行为有关的信息而设计,这种信息(模型)可能是脉冲或阶跃响应,传递函数,偏微分方程组,或者简单的就是过程增益和根据经验确定的回复时间等等.但在实际控制工程中,被控对象的精确模型往往难以得到，有时，即使能获得受控对象的精确模型但也由于过于复杂，在进行控制系统设计时非进行简化不可。此外，随着系统的工作条件或环境的变化，控制系统中元件的老化或坏损，被控对象本身的特性也会随之发生变化，从而偏离设计所依据的标准特性，导致系统模型产生误差，从实际应用的角度出发，当然希望按照某种要求，使控制系统对模型的不确定性不那么敏感，或者说控制系统应该具有鲁棒性。
30年代开始发展起来的古典控制理论（如频率域方法）在一定程度上能较方便的处理单变量控制系统的鲁棒性，尤其是鲁棒稳定性。如用BODE图进行单变量控制系统综合时，首先确保系统具有一定稳定裕量，使得控制系统对受控对象特性的微小变化（或其模型的微小摄动）具有一定的鲁棒性，然后在经验和经验法则指导下不断迭代修改，直到各种通常互相矛盾的目标达到最好的折中为止。这种方法具有明显的试凑性，因此仅限于研究系统存在微小摄动的不确定性情况。
从50年代末开始发展起来的现代控制理论（状态空间方法）能较好的解决多变量控制系统的分析和综合问题。并已经证明，LQG状态反馈线形控制系统具有很好的稳定裕度（幅值稳定裕量为0.5至 ，相位稳定裕量大于或等于 60 ）。然而LQG控制系统，甚至是LQ最优调节器，对被控对象的摄动的鲁帮性有时很差。
系统的不确定性（模型误差）对控制系统的性能（包括稳定性）具有很大的影响，甚至会使得控制系统崩溃。因此在控制系统的设计过程中，必须充分考虑系统不确定性的影响，研究控制系统的鲁棒性和鲁棒控制问题。
关于鲁棒控制问题的最早研究可以追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计思想。由于当时无法知道反馈增益与控制系统稳定性之间的关系，故基于这一设计思想的控制系统往往是动态不稳定的。直至Nyquist1932年提出基于Nyquist 曲线的频域稳定性判据之后，才使得反馈增益与控制系统动态稳定性之间关系明朗化。进而 Bode于1945年讨论了单输入单输出反馈控制系统的鲁棒性，提出利用幅值相位稳定裕量来得到系统能容忍的不确定性范围，并引入微分灵敏度函数来衡量参数摄动下的系统性能。
60年代初，Cruz 和Perkins将单输入单输出系统的灵敏性分析思想推广 至多输入多输出系统，并引入灵敏度比较矩阵来衡量闭环和开环系统性能。这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统不确定性是微小参数摄动的情况，属于灵敏性分析的范畴，离工程应用的距离相差甚大。实际系统中的参数是不能视为不变或仅具有微小摄动的，系统工作条件和环境的变化；建模的简化处理；降阶近似和非线形系统的线形化等均可描述为相应参数的摄动。有时被控对象肯存在几个不同的工作状态，当采用同一控制器来控制这种对象时，也可以把由于不同工作状态所对应参数的差别视为系统参数的摄动等。显然，这些情况下的 系统参数摄动就不仅仅是微小的摄动了，而有可能在较大范围内变化，从而超出基于微分灵敏性分析方法所能解决的问题的范畴，导致了面向非微小有界摄动不确定想的现代鲁棒控制理论问题。
从60年代以来，通过结合实际工程问题和数学理论，鲁棒控制理论取得了令人瞩目的发展，并已逐步形成具有代表性的三个主要研究方面，即：研究系统传递函数（矩阵）的频率域方法，研究系统特征多项式族的多项式代数方法和研究系统状态方程矩阵族的时域（状态空间）方法。下面从三个方面讨论不确定性系统鲁棒控制理论的发展过程。