1.微分方程的定义

function dy=duffing(t,x)

omega=1;%定义参数

f1=x(2);

f2=-omega^2*x(1)-x(1)^3;

dy=[f1;f2];

2.微分方程的求解

function solve (tstop)

tstop=500;%定义时间长度

y0=[0.01;0];%定义初始条件

[t,y]=ode45('duffing',tstop,y0,[]);

 

function solve (tstop)

step=0.01;%定义步长

y0=rand(1,2);%随机初始条件

tspan=[0:step:500];%定义时间范围

[t,y]=ode45('duffing',tspan,y0);

3.时间历程的绘制

时间历程横轴为t，纵轴为y，绘制时只取稳态部分。

plot(t,y(:,1));%绘制y的时间历程

xlabel('t')%横轴为t

ylabel('y')%纵轴为y

grid;%显示网格线

axis([460 500 -Inf Inf])%显示范围设置

4.相图的绘制

相图的横轴为y，纵轴为dy/dt，绘制时也只取稳态部分。红色部分表示只取最后1000个点。

plot(y(end-1000:end,1),y(end-1000:end,2));%绘制y的时间历程

xlabel('y')%横轴为y

ylabel('dy/dt')%纵轴为dy/dt

grid;%显示网格线

5.Poincare映射的绘制

对于不同的系统，Poincare截面的选取方法也不同

对于自治系统一般每过其对应线性系统的固有周期，截取一次

对于非自治系统，一般每过其激励的周期，截取一次

例程：duffing方程 的poincare映射

function poincare(tstop)

global omega;

omega=1;

T=2*pi/omega;%线性系统的周期或激励的周期

step=T/100;%定义步长为T/100

y0=[0.01;0];%初始条件

tspan=[0:step:100*T];%定义时间范围

[t,y]=ode45('duffing',tspan,y0);

for i=5000:100:10000%稳态过程每个周期取一个点

plot(y(i,1),y(i,2),'b.');

hold on;% 保留上一次的图形

end

xlabel('y');ylabel('dy/dt');

Poincare映射也可以通过取极值点得到

function poincare(tstop)

y0=[0.01;0];

tspan=[0:0.01:500];

[t,y]=ode45('duffing',tspan,y0);

count=find(t>100);%截取稳态过程

y=y(count,:);

n=length(y(:,1));%计算点的总数

for i=2:n-1

if y(i-1,1)+eps<y(i,1) && y(i,1)>y(i+1,1)+eps % 简单的取出局部最大值

plot(y(i,1),y(i,2),'.');

hold on

end

end

xlabel('y');ylabel('dy/dt');

6.频谱

yy=fft(y(end-1000:end,1));

N=length(yy);

power=abs(yy);

freq=(1:N-1)*1/step/N;

plot(freq(1:N/2),power(1:N/2));

xlabel('f(y)')

ylabel('y')